⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- उचित भिन्न (Proper Fraction): जिस भिन्न में अंश हर से छोटा हो, जैसे 3/5; इसका मान सदैव 1 से कम होता है।
- भिन्न से दशमलव: अंश ÷ हर करें; जैसे 3/4 = 0.75।
- विषम भिन्न (Improper Fraction): जिस भिन्न में अंश हर के बराबर या बड़ा हो, जैसे 7/4; इसे मिश्रित भिन्न में बदला जा सकता है।
- दशमलव से भिन्न: दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक हैं उतने शून्य सहित 1 से हर बनाएँ; जैसे 0.25 = 25/100 = 1/4।
- मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction): पूर्ण संख्या + उचित भिन्न, जैसे 2 1/3; इसे विषम भिन्न में बदलने के लिए (पूर्ण × हर + अंश)/हर करें।
- दशमलव में जोड़/घटाव: दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखकर अंकों को जोड़ें/घटाएँ।
Introduction · परिचय
दशमलव (Decimals) और भिन्न (Fractions) SSC MTS के Numerical and Mathematical Ability खंड का महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। ये विषय संख्याओं को अलग-अलग रूपों में समझने और उन पर सरल अंकगणितीय संक्रियाएँ (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) करने से संबंधित हैं। भिन्न को दशमलव में और दशमलव को भिन्न में बदलना, तुलना करना तथा दैनिक जीवन के प्रश्नों में इनका उपयोग परीक्षा में पूछा जाता है।
भिन्न (Fractions) की मूल अवधारणा और प्रकार
भिन्न एक संख्या है जो किसी वस्तु के भाग को दर्शाती है। इसे a/b के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a अंश (Numerator) और b हर (Denominator) है, तथा b ≠ 0। भिन्न के मुख्य प्रकार हैं: उचित भिन्न (Proper Fraction) जिसमें अंश < हर, विषम भिन्न (Improper Fraction) जिसमें अंश ≥ हर, और मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction) जो पूर्ण संख्या और उचित भिन्न का संयोजन है। समान भिन्नों में हर समान होता है, जबकि असमान भिन्नों में हर भिन्न होता है।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
मिश्रित से विषम भिन्न
a b/c = (a×c + b)/c
विषम से मिश्रित भिन्न
a/b = (a÷b) शेषफल/b
भिन्नों का जोड़ (समान हर)
a/c + b/c = (a+b)/c
भिन्नों का गुणा
(a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- उचित भिन्न (Proper Fraction): जिस भिन्न में अंश हर से छोटा हो, जैसे 3/5; इसका मान सदैव 1 से कम होता है।
- विषम भिन्न (Improper Fraction): जिस भिन्न में अंश हर के बराबर या बड़ा हो, जैसे 7/4; इसे मिश्रित भिन्न में बदला जा सकता है।
- मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction): पूर्ण संख्या + उचित भिन्न, जैसे 2 1/3; इसे विषम भिन्न में बदलने के लिए (पूर्ण × हर + अंश)/हर करें।
- तुल्य भिन्न (Equivalent Fractions): वे भिन्न जिनका मान समान हो, जैसे 1/2 = 2/4 = 3/6; अंश और हर को समान संख्या से गुणा/भाग करने पर प्राप्त होती हैं।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: मिश्रित भिन्न 3 2/5 को विषम भिन्न में बदलिए।
✅ Solution: 17/5
💡 Explanation: पूर्ण संख्या 3 को हर 5 से गुणा करें: 3×5=15; अंश 2 जोड़ें: 15+2=17; हर वही 5 रखें। अतः 17/5।
✍️ Solved Example 2 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: भिन्न 18/24 को सरलतम रूप में लिखिए।
✅ Solution: 3/4
💡 Explanation: 18 और 24 का महत्तम समापवर्तक (HCF) 6 है। अंश और हर दोनों को 6 से भाग दें: 18÷6=3, 24÷6=4। अतः 3/4।
दशमलव (Decimals) और भिन्न-दशमलव रूपांतरण
दशमलव संख्या लिखने की एक प्रणाली है जिसमें दशमलव बिंदु (.) के बाद के अंक दसवें, सौवें, हजारवें आदि भागों को दर्शाते हैं। जैसे 0.5 = 5/10 = 1/2। किसी भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए अंश को हर से भाग दें। दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए दशमलव बिंदु के बाद के अंकों की संख्या के अनुसार 10, 100, 1000 आदि हर लिखें और सरल करें। दशमलव में जोड़-घटाव करते समय दशमलव बिंदुओं को संरेखित (align) करना आवश्यक है।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
भिन्न से दशमलव
a/b = a ÷ b
दशमलव से भिन्न
0.d = d/10, 0.dd = dd/100 (आदि)
दशमलव गुणा में बिंदु
कुल दशमलव स्थान = दोनों संख्याओं के दशमलव स्थानों का योग
| भिन्न (Fraction) | दशमलव (Decimal) |
|---|---|
| a/b के रूप में लिखा जाता है | दशमलव बिंदु के साथ लिखा जाता है |
| उदाहरण: 1/2 | उदाहरण: 0.5 |
| तुलना के लिए समान हर बनाना पड़ सकता है | तुलना के लिए दशमलव स्थान बराबर करें |
| सटीक मान दर्शाता है | कुछ भिन्नों में दशमलव असीमित (recurring) हो सकता है |
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- भिन्न से दशमलव: अंश ÷ हर करें; जैसे 3/4 = 0.75।
- दशमलव से भिन्न: दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक हैं उतने शून्य सहित 1 से हर बनाएँ; जैसे 0.25 = 25/100 = 1/4।
- दशमलव में जोड़/घटाव: दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखकर अंकों को जोड़ें/घटाएँ।
- दशमलव में गुणा: सामान्य गुणा करें, फिर दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद के कुल अंकों की संख्या के बराबर दशमलव बिंदु बाईं ओर से लगाएँ।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: भिन्न 7/8 को दशमलव में बदलिए।
✅ Solution: 0.875
💡 Explanation: 7 ÷ 8 = 0.875; क्योंकि 8 × 0.875 = 7। अतः 7/8 = 0.875।
✍️ Solved Example 2 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: दशमलव 0.6 को भिन्न में बदलिए।
✅ Solution: 3/5
💡 Explanation: 0.6 = 6/10; अंश और हर को 2 से भाग दें: 6÷2=3, 10÷2=5; अतः 3/5।
✍️ Solved Example 3 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 2.5 + 1.75 का मान ज्ञात कीजिए।
✅ Solution: 4.25
💡 Explanation: दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें: 2.50 + 1.75 = 4.25।
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q1भिन्न 5/8 को दशमलव में बदलिए।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 0.625
💡 Explanation: 5 ÷ 8 = 0.625; क्योंकि 8 × 0.625 = 5। अतः 5/8 = 0.625।
Q2मिश्रित भिन्न 4 3/7 को विषम भिन्न में बदलिए।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 31/7
💡 Explanation: पूर्ण 4 × हर 7 = 28; अंश 3 जोड़ें = 31; हर 7 वही रहेगा। अतः 31/7।
Q30.75 और 3/5 में से कौन बड़ा है?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 0.75
💡 Explanation: 3/5 = 0.6; अब 0.75 और 0.60 की तुलना करें। 0.75 > 0.60, अतः 0.75 बड़ा है।
Q43.2 × 0.5 का मान ज्ञात कीजिए।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 1.6
💡 Explanation: 32 × 5 = 160; दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद कुल 2 अंक (1+1) हैं, अतः 160 में बाईं ओर से 2 स्थान पर बिंदु लगाएँ: 1.60 = 1.6।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- दशमलव जोड़ते समय बिंदुओं को संरेखित न करना: बिंदुओं को एक सीध में रखकर ही जोड़ें/घटाएँ।
- भिन्न को सरलतम रूप में न बदलना: अंश और हर का HCF निकालकर अंतिम उत्तर को सरल करें।
- मिश्रित भिन्न को विषम में बदलते समय हर को गुणा करना भूल जाना: सूत्र (पूर्ण×हर + अंश)/हर का प्रयोग करें।
- दशमलव गुणा में बिंदु की स्थिति गलत लगाना: दोनों संख्याओं के दशमलव स्थानों का योग गिनकर बिंदु लगाएँ।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- उचित भिन्न: अंश < हर; मान 1 से कम। विषम भिन्न: अंश ≥ हर; मान 1 या अधिक।
- मिश्रित भिन्न a b/c = (a×c + b)/c; विषम भिन्न को मिश्रित में बदलने के लिए अंश ÷ हर करें।
- भिन्न से दशमलव: अंश ÷ हर; दशमलव से भिन्न: दशमलव स्थानों के अनुसार 10, 100, 1000 हर बनाकर सरल करें।
- दशमलव जोड़/घटाव में बिंदु संरेखित करें; गुणा में कुल दशमलव स्थानों का योग गिनें।