⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- उचित भिन्न: अंश < हर होती है, जैसे 3/5; इसका मान 0 और 1 के बीच होता है।
- दशमलव स्थान: बिंदु के बाद पहला अंक दसवाँ (1/10), दूसरा सौवाँ (1/100), तीसरा हज़ारवाँ (1/1000) होता है।
- विषम भिन्न: अंश ≥ हर होती है, जैसे 7/4; इसे मिश्र भिन्न 1¾ में बदल सकते हैं।
- भिन्न से दशमलव: अंश ÷ हर करें; जैसे 3/4 = 0.75।
- तुल्य भिन्न: अंश-हर को समान संख्या से गुणा/भाग करने पर भिन्न का मान नहीं बदलता, जैसे 2/3 = 4/6।
- दशमलव से भिन्न: दशमलव बिंदु हटाकर अंश बनाएँ और 10 की उतनी घात हर लिखें जितने दशमलव स्थान हैं; जैसे 0.25 = 25/100 = 1/4।
Introduction · परिचय
दशमलव (Decimals) और भिन्न (Fractions) RRB Group D गणित का आधारभूत विषय है। भिन्न p/q के रूप में संख्या है जहाँ q≠0, जबकि दशमलव भिन्न को 10 की घात के हर वाले रूप में लिखा जाता है। परीक्षा में सरलीकरण, तुलना, आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना और दशमलव-भिन्न रूपांतरण से प्रश्न पूछे जाते हैं।
भिन्न (Fractions) की मूल अवधारणाएँ और प्रकार
भिन्न p/q के रूप में होती है, जहाँ p अंश (numerator) और q हर (denominator) है। उचित भिन्न में अंश < हर, विषम भिन्न में अंश ≥ हर, और मिश्र भिन्न पूर्णांक + उचित भिन्न होती है। तुल्य भिन्न (Equivalent Fractions) बनाने के लिए अंश-हर को समान संख्या से गुणा/भाग करते हैं। भिन्न को सरलतम रूप में लाने के लिए अंश-हर का HCF से भाग दें।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
तुल्य भिन्न
a/b = (a×k)/(b×k), जहाँ k ≠ 0
सरलतम रूप
a/b = (a÷HCF)/(b÷HCF)
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- उचित भिन्न: अंश < हर होती है, जैसे 3/5; इसका मान 0 और 1 के बीच होता है।
- विषम भिन्न: अंश ≥ हर होती है, जैसे 7/4; इसे मिश्र भिन्न 1¾ में बदल सकते हैं।
- तुल्य भिन्न: अंश-हर को समान संख्या से गुणा/भाग करने पर भिन्न का मान नहीं बदलता, जैसे 2/3 = 4/6।
- सरलतम रूप: अंश और हर को उनके HCF से भाग दें, जैसे 18/24 = 3/4 (HCF=6)।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: भिन्न 24/36 को सरलतम रूप में लिखिए।
✅ Solution: 2/3
💡 Explanation: 24 और 36 का HCF = 12। अंश-हर दोनों को 12 से भाग दें: 24÷12=2, 36÷12=3, अतः 2/3।
✍️ Solved Example 2 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 7/4 को मिश्र भिन्न में बदलिए।
✅ Solution: 1¾
💡 Explanation: 7 ÷ 4 = 1 शेष 3, अतः 7/4 = 1 पूर्णांक 3/4 = 1¾।
दशमलव (Decimals) और भिन्न-दशमलव रूपांतरण
दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद के स्थान दसवाँ, सौवाँ, हज़ारवाँ आदि दर्शाते हैं। भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए अंश को हर से भाग दें। दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए दशमलव बिंदु के बाद के अंकों को अंश बनाकर 10, 100, 1000 आदि हर लिखें और सरल करें। आवर्ती दशमलव (जैसे 0.333...) को भिन्न में बदलने के लिए बीजगणितीय विधि प्रयोग करें।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
दशमलव से भिन्न
0.d1d2...dn = (d1d2...dn)/10^n
आवर्ती दशमलव (एक अंक)
0.aaaa... = a/9
| भिन्न | दशमलव |
|---|---|
| 1/2 | 0.5 |
| 1/4 | 0.25 |
| 3/4 | 0.75 |
| 1/5 | 0.2 |
| 1/8 | 0.125 |
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- दशमलव स्थान: बिंदु के बाद पहला अंक दसवाँ (1/10), दूसरा सौवाँ (1/100), तीसरा हज़ारवाँ (1/1000) होता है।
- भिन्न से दशमलव: अंश ÷ हर करें; जैसे 3/4 = 0.75।
- दशमलव से भिन्न: दशमलव बिंदु हटाकर अंश बनाएँ और 10 की उतनी घात हर लिखें जितने दशमलव स्थान हैं; जैसे 0.25 = 25/100 = 1/4।
- आवर्ती दशमलव: 0.abab... = ab/99, 0.abcabc... = abc/999 (सरलीकरण के बाद)।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 0.375 को भिन्न में बदलिए।
✅ Solution: 3/8
💡 Explanation: 0.375 में तीन दशमलव स्थान हैं, अतः 375/1000। 375 और 1000 का HCF = 125। 375÷125=3, 1000÷125=8, अतः 3/8।
✍️ Solved Example 2 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 5/8 को दशमलव में बदलिए।
✅ Solution: 0.625
💡 Explanation: 5 ÷ 8 = 0.625 (क्योंकि 8×0.625=5)।
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q10.6 × 0.06 × 0.006 का मान ज्ञात कीजिए।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 0.000216
💡 Explanation: 0.6×0.06 = 0.036; 0.036×0.006 = 0.000216 (दशमलव स्थान: 1+2+3=6)।
Q2भिन्न 5/8, 3/4, 7/12 में सबसे बड़ी भिन्न कौन-सी है?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 3/4
💡 Explanation: दशमलव में: 5/8=0.625, 3/4=0.75, 7/12≈0.583; अतः 3/4 सबसे बड़ी है।
Q30.444... को भिन्न में बदलिए।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 4/9
💡 Explanation: मान लें x=0.444..., तो 10x=4.444...; घटाने पर 9x=4, अतः x=4/9।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- दशमलव को भिन्न में बदलते समय हर में 10 की गलत घात लगाना: दशमलव स्थानों की संख्या गिनकर ही 10, 100, 1000 लिखें।
- भिन्नों की तुलना बिना समान हर किए करना: क्रॉस गुणा या दशमलव में बदलकर तुलना करें।
- आवर्ती दशमलव में 0.999... = 1 होता है, इसे अनदेखा करना; सरलीकरण के बाद सही भिन्न प्राप्त करें।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- भिन्न के प्रकार: उचित (अंश<हर), विषम (अंश≥हर), मिश्र (पूर्णांक+उचित); सरलतम रूप के लिए HCF से भाग दें।
- दशमलव स्थान: दसवाँ=1/10, सौवाँ=1/100, हज़ारवाँ=1/1000; रूपांतरण में 10 की घात का प्रयोग करें।
- आवर्ती दशमलव: 0.aaa...=a/9, 0.abab...=ab/99; बीजगणितीय विधि से हल करें।