⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- HCF की परिभाषा: दो या अधिक संख्याओं का HCF वह बड़ी से बड़ी संख्या है जो उन सभी को बिना शेषफल के विभाजित करे।
- LCM की परिभाषा: दो या अधिक संख्याओं का LCM वह छोटी से छोटी संख्या है जो उन सभी से पूर्णतः विभाजित हो।
- मूल संबंध: दो संख्याओं a और b के लिए, a × b = LCM(a,b) × HCF(a,b)।
- अभाज्य गुणनखंडन विधि: प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड करें और सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लें।
- अभाज्य गुणनखंडन विधि: सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड करें और प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की अधिकतम घात लेकर गुणा करें।
- तीन संख्याओं के लिए: तीन संख्याओं के लिए यह संबंध लागू नहीं होता; अलग विधि से ज्ञात करें।
Introduction · परिचय
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) और HCF (महत्तम समापवर्तक) संख्याओं के गुणनखंडों से संबंधित महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। SSC MTS में अक्सर LCM/HCF ज्ञात करने, भिन्नों पर आधारित प्रश्न, तथा LCM-HCF के संबंध पर आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं।
HCF (महत्तम समापवर्तक) की अवधारणा
HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है। इसे GCD (Greatest Common Divisor) भी कहते हैं। HCF ज्ञात करने की दो मुख्य विधियाँ हैं: अभाज्य गुणनखंडन विधि और भाग विधि (Euclid's Algorithm)।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
HCF (अभाज्य गुणनखंडन)
HCF = सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- HCF की परिभाषा: दो या अधिक संख्याओं का HCF वह बड़ी से बड़ी संख्या है जो उन सभी को बिना शेषफल के विभाजित करे।
- अभाज्य गुणनखंडन विधि: प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड करें और सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लें।
- भाग विधि (Euclid's Algorithm): बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर भाजक को शेषफल से भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही HCF होता है।
- सह-अभाज्य संख्याएँ: यदि दो संख्याओं का HCF 1 हो, तो वे सह-अभाज्य (co-prime) कहलाती हैं।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 24 और 36 का HCF ज्ञात करें।
✅ Solution: 12
💡 Explanation: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3²। सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 की न्यूनतम घात: 2² × 3 = 12। अतः HCF = 12।
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) की अवधारणा
LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो जाए। इसे अभाज्य गुणनखंडन विधि से ज्ञात करते हैं: सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात लें।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
LCM (अभाज्य गुणनखंडन)
LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घातों का गुणनफल
भिन्नों का LCM
LCM = (अंशों का LCM) / (हरों का HCF)
भिन्नों का HCF
HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- LCM की परिभाषा: दो या अधिक संख्याओं का LCM वह छोटी से छोटी संख्या है जो उन सभी से पूर्णतः विभाजित हो।
- अभाज्य गुणनखंडन विधि: सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड करें और प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की अधिकतम घात लेकर गुणा करें।
- भिन्नों का LCM: भिन्नों का LCM = (अंशों का LCM) / (हरों का HCF)।
- भिन्नों का HCF: भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 12 और 18 का LCM ज्ञात करें।
✅ Solution: 36
💡 Explanation: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²। अधिकतम घात: 2² × 3² = 4 × 9 = 36। अतः LCM = 36।
LCM और HCF का संबंध
दो संख्याओं a और b के लिए, उनका गुणनफल उनके LCM और HCF के गुणनफल के बराबर होता है। यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए मान्य है, तीन या अधिक के लिए नहीं।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
LCM-HCF संबंध
a × b = LCM(a,b) × HCF(a,b)
| HCF | LCM |
|---|---|
| सबसे बड़ी सामान्य विभाजक संख्या | सबसे छोटी सामान्य गुणज संख्या |
| सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात | सभी गुणनखंडों की अधिकतम घात |
| HCF ≤ प्रत्येक संख्या | LCM ≥ प्रत्येक संख्या |
| भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM | भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF |
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- मूल संबंध: दो संख्याओं a और b के लिए, a × b = LCM(a,b) × HCF(a,b)।
- तीन संख्याओं के लिए: तीन संख्याओं के लिए यह संबंध लागू नहीं होता; अलग विधि से ज्ञात करें।
- HCF सदैव LCM का गुणनखंड होता है: किसी भी संख्या-युग्म के लिए HCF, LCM को पूर्णतः विभाजित करता है।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: दो संख्याओं का HCF 6 और LCM 72 है। यदि एक संख्या 24 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।
✅ Solution: 18
💡 Explanation: a × b = HCF × LCM → 24 × b = 6 × 72 → 24b = 432 → b = 18। अतः दूसरी संख्या 18 है।
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q115, 25 और 35 का HCF ज्ञात करें।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 5
💡 Explanation: 15 = 3 × 5, 25 = 5², 35 = 5 × 7। सामान्य अभाज्य गुणनखंड 5 की न्यूनतम घात 5¹ = 5। अतः HCF = 5।
Q28, 12 और 16 का LCM ज्ञात करें।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 48
💡 Explanation: 8 = 2³, 12 = 2² × 3, 16 = 2⁴। अधिकतम घात: 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48। अतः LCM = 48।
Q3दो संख्याओं का HCF 4 और LCM 48 है। यदि एक संख्या 12 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 16
💡 Explanation: a × b = HCF × LCM → 12 × b = 4 × 48 = 192 → b = 16। अतः दूसरी संख्या 16 है।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- HCF और LCM की परिभाषा में भ्रम: HCF सबसे बड़ी सामान्य विभाजक है, LCM सबसे छोटी सामान्य गुणज है।
- तीन संख्याओं पर a × b = HCF × LCM सूत्र लागू करना: यह केवल दो संख्याओं के लिए मान्य है।
- भिन्नों का LCM/HCF निकालते समय अंश और हर के सूत्रों को उलट देना: LCM में अंशों का LCM और हरों का HCF; HCF में अंशों का HCF और हरों का LCM।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- HCF: सबसे बड़ी संख्या जो सभी को विभाजित करे; अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात।
- LCM: सबसे छोटी संख्या जो सभी से विभाजित हो; अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात।
- दो संख्याओं के लिए: a × b = HCF × LCM; तीन संख्याओं के लिए यह सूत्र लागू नहीं होता।
- भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF; भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM।