⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- अनुपात (Ratio): a:b = a/b, जहाँ b ≠ 0; दोनों राशियाँ समान इकाई में होनी चाहिए।
- समानुपात (Proportion): a:b = c:d ⇒ ad = bc; यहाँ a, d बाह्य पद और b, c मध्य पद हैं।
- समानुपात (Proportion): चार राशियाँ a, b, c, d समानुपात में हैं यदि a:b = c:d, अर्थात् ad = bc।
- सतत समानुपात (Continued Proportion): a, b, c सतत समानुपात में हैं यदि a:b = b:c, अर्थात् b² = ac; b को मध्यानुपाती (mean proportional) कहते हैं।
- मिश्रित अनुपात (Compound Ratio): (a:b) और (c:d) का मिश्रित अनुपात ac:bd होता है।
- तीसरा समानुपाती (Third Proportional): a और b का तीसरा समानुपाती c = b²/a होता है।
Introduction · परिचय
अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion) RRB NTPC गणित का एक महत्वपूर्ण विषय है। यह विभिन्न अभ्यर्थियों के बीच मात्राओं की तुलना और उनके संबंधों को समझने में मदद करता है। इस टॉपिक से सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं और यह अन्य विषयों जैसे प्रतिशत, औसत, समय-कार्य आदि का आधार भी है।
अनुपात (Ratio) की मूल अवधारणा
अनुपात दो समान प्रकार की राशियों की तुलना है, जिसे a:b के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a और b शून्येतर संख्याएँ हैं। इसमें a को पूर्ववर्ती (antecedent) और b को परवर्ती (consequent) कहते हैं। अनुपात की कोई इकाई नहीं होती।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
समानुपात की कसौटी
a:b = c:d ⇒ ad = bc
मिश्रित अनुपात
(a:b) और (c:d) का मिश्रित अनुपात = ac:bd
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- अनुपात (Ratio): a:b = a/b, जहाँ b ≠ 0; दोनों राशियाँ समान इकाई में होनी चाहिए।
- समानुपात (Proportion): चार राशियाँ a, b, c, d समानुपात में हैं यदि a:b = c:d, अर्थात् ad = bc।
- मिश्रित अनुपात (Compound Ratio): (a:b) और (c:d) का मिश्रित अनुपात ac:bd होता है।
- वर्गानुपात (Duplicate Ratio): a:b का वर्गानुपात a²:b² होता है।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: यदि a:b = 3:4 और b:c = 8:9, तो a:c ज्ञात करें।
✅ Solution: a:c = 2:3
💡 Explanation: a:b = 3:4, b:c = 8:9। b को समान बनाने के लिए पहले अनुपात को 2 से गुणा करें: a:b = 6:8। अब a:b:c = 6:8:9, अतः a:c = 6:9 = 2:3।
समानुपात (Proportion) और इसके प्रकार
समानुपात तब होता है जब दो अनुपात बराबर हों। यदि a:b = c:d, तो a, b, c, d समानुपात में हैं। इसमें a और d को बाह्य पद (extremes) तथा b और c को मध्य पद (means) कहते हैं। बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
मध्यानुपाती
a और c का मध्यानुपाती b = √(ac)
तीसरा समानुपाती
a और b का तीसरा समानुपाती = b²/a
चतुर्थ समानुपाती
a, b, c का चतुर्थ समानुपाती = bc/a
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- समानुपात (Proportion): a:b = c:d ⇒ ad = bc; यहाँ a, d बाह्य पद और b, c मध्य पद हैं।
- सतत समानुपात (Continued Proportion): a, b, c सतत समानुपात में हैं यदि a:b = b:c, अर्थात् b² = ac; b को मध्यानुपाती (mean proportional) कहते हैं।
- तीसरा समानुपाती (Third Proportional): a और b का तीसरा समानुपाती c = b²/a होता है।
- चतुर्थ समानुपाती (Fourth Proportional): a, b, c का चतुर्थ समानुपाती d = bc/a होता है।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 6 और 24 का मध्यानुपाती ज्ञात करें।
✅ Solution: 12
💡 Explanation: मध्यानुपाती b = √(a×c) = √(6×24) = √144 = 12।
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q1यदि 5:8 = 15:x, तो x का मान क्या है?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 24
💡 Explanation: 5/8 = 15/x ⇒ 5x = 120 ⇒ x = 24।
Q2दो संख्याओं का अनुपात 3:5 है और उनका योग 64 है। बड़ी संख्या ज्ञात करें।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 40
💡 Explanation: माना संख्याएँ 3k और 5k हैं। 3k+5k=8k=64 ⇒ k=8। बड़ी संख्या = 5k = 40।
Q34 और 9 का मध्यानुपाती क्या है?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 6
💡 Explanation: मध्यानुपाती = √(4×9) = √36 = 6।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- अनुपात में इकाई नहीं होती, लेकिन दोनों राशियाँ समान इकाई में होनी चाहिए; इकाई बदलना भूलें नहीं।
- समानुपात में बाह्य और मध्य पदों की पहचान गलत न करें; a:b = c:d में a×d = b×c होता है।
- मध्यानुपाती निकालते समय वर्गमूल लेना न भूलें; केवल गुणनफल न लिखें।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- अनुपात (Ratio): a:b = a/b, इकाई रहित तुलना; a पूर्ववर्ती, b परवर्ती।
- समानुपात (Proportion): a:b = c:d ⇒ ad = bc; बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल।
- मध्यानुपाती (Mean Proportional): a और c का मध्यानुपाती b = √(ac)।
- तीसरा समानुपाती (Third Proportional): a और b का तीसरा समानुपाती = b²/a।