⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- HCF (महत्तम समापवर्तक): दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड।
- अभाज्य गुणनखंडन: HCF = सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात का गुणनफल।
- LCM (लघुत्तम समापवर्त्य): दी गई संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज।
- अभाज्य गुणनखंडन: LCM = सभी गुणनखंडों की अधिकतम घात का गुणनफल।
- सूत्र: HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या (केवल दो संख्याओं के लिए)।
- भाग विधि: बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर भाजक को शेषफल से; अंतिम भाजक HCF होता है।
Introduction · परिचय
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) और HCF (महत्तम समापवर्तक) RRB NTPC गणित का महत्वपूर्ण टॉपिक है। यह संख्याओं के गुणनखंड और गुणज से संबंधित है तथा समय-कार्य, चक्रीय घटनाओं और भिन्नों के सरलीकरण में उपयोगी है।
LCM और HCF की मूल अवधारणा
HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है। LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित होती है। दो संख्याओं a और b के लिए, HCF × LCM = a × b होता है।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
HCF-LCM संबंध
HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
भिन्नों का LCM
LCM(अंशों का LCM) / HCF(हरों का HCF)
भिन्नों का HCF
HCF(अंशों का HCF) / LCM(हरों का LCM)
सूत्र
HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या (केवल दो संख्याओं के लिए)।
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- HCF (महत्तम समापवर्तक): दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड।
- LCM (लघुत्तम समापवर्त्य): दी गई संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 12 और 18 का HCF और LCM ज्ञात करें।
✅ Solution: HCF = 6, LCM = 36
💡 Explanation: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²। सामान्य गुणनखंड = 2 × 3 = 6 (HCF)। सभी अधिकतम घात = 2² × 3² = 36 (LCM)। जाँच: 6 × 36 = 216 = 12 × 18।
LCM और HCF निकालने की विधियाँ
अभाज्य गुणनखंडन विधि में संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ते हैं। HCF के लिए सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लेते हैं और LCM के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात लेते हैं। भाग विधि (Euclid's algorithm) से भी HCF निकाला जा सकता है।
- दी गई संख्याएँ लिखें
- अभाज्य गुणनखंडन करें
- HCF हेतु सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात चुनें
- LCM हेतु सभी गुणनखंडों की अधिकतम घात चुनें
- गुणा करके उत्तर लिखें
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- अभाज्य गुणनखंडन: HCF = सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात का गुणनफल।
- अभाज्य गुणनखंडन: LCM = सभी गुणनखंडों की अधिकतम घात का गुणनफल।
- भाग विधि: बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर भाजक को शेषफल से; अंतिम भाजक HCF होता है।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 24, 36 और 60 का LCM ज्ञात करें।
✅ Solution: LCM = 360
💡 Explanation: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5। अधिकतम घात: 2³, 3², 5 → 8 × 9 × 5 = 360।
✍️ Solved Example 2 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 48 और 18 का HCF भाग विधि से ज्ञात करें।
✅ Solution: HCF = 6
💡 Explanation: 48 ÷ 18 → शेषफल 12; 18 ÷ 12 → शेषफल 6; 12 ÷ 6 → शेषफल 0। अंतिम भाजक 6 = HCF।
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q1दो संख्याओं का HCF 9 और LCM 90 है। यदि एक संख्या 18 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 45
💡 Explanation: HCF × LCM = a × b → 9 × 90 = 18 × b → b = 810/18 = 45।
Q2तीन घंटियाँ क्रमशः 6, 8 और 12 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे एक साथ बजीं, तो अगली बार एक साथ कब बजेंगी?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 24 मिनट बाद
💡 Explanation: 6, 8, 12 का LCM = 24। अतः 24 मिनट बाद तीनों एक साथ बजेंगी।
Q32/3, 4/9 और 8/15 का LCM ज्ञात करें।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 8/3
💡 Explanation: अंशों 2, 4, 8 का LCM = 8; हरों 3, 9, 15 का HCF = 3। अतः LCM = 8/3।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- तीन संख्याओं पर HCF × LCM = गुणनफल लगाना: यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए मान्य है; तीन संख्याओं के लिए गुणनखंडन विधि अपनाएँ।
- भिन्नों का LCM निकालते समय अंशों का HCF और हरों का LCM लेना: सही नियम है अंशों का LCM और हरों का HCF।
- HCF और LCM में न्यूनतम/अधिकतम घात की अदला-बदली करना: HCF में न्यूनतम घात और LCM में अधिकतम घात लें।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- HCF-LCM सूत्र: दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल।
- भिन्नों का LCM: अंशों का LCM / हरों का HCF; भिन्नों का HCF: अंशों का HCF / हरों का LCM।
- घंटी/चक्रीय प्रश्न: एक साथ दोबारा होने का समय = दिए गए अंतरालों का LCM।
- भाग विधि: अंतिम शेषफल 0 देने वाला भाजक ही HCF होता है।