⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- HCF: वह सबसे बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करे।
- भाग विधि: बड़ी संख्या ÷ छोटी संख्या, फिर भाजक ÷ शेषफल; अंतिम भाजक = HCF।
- LCM: वह सबसे छोटी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो।
- सह-अभाज्य संख्याएँ: जिनका HCF 1 हो, उनका LCM = संख्याओं का गुणनफल।
- सूत्र: दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या।
- LCM ज्ञात करने के लिए अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घात लें।
Introduction · परिचय
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) और HCF (महत्तम समापवर्तक) RRB Group D गणित का महत्वपूर्ण विषय है। HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है, जबकि LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई संख्याओं से पूर्णतः विभाजित होती है। इस टॉपिक से प्रश्न अक्सर सीधे सूत्र, अभाज्य गुणनखंडन, भाग विधि और अनुप्रयोगों पर आते हैं।
HCF और LCM की मूल अवधारणा
HCF (Highest Common Factor) दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड होता है। LCM (Least Common Multiple) दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज होता है। दो संख्याओं a और b के लिए, HCF × LCM = a × b होता है। HCF ज्ञात करने की दो मुख्य विधियाँ हैं: अभाज्य गुणनखंडन विधि और भाग विधि। LCM ज्ञात करने के लिए अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात ली जाती है।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
HCF-LCM संबंध
HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
भिन्नों का LCM
LCM of fractions = LCM(अंशों का LCM) / HCF(हरों का HCF)
भिन्नों का HCF
HCF of fractions = HCF(अंशों का HCF) / LCM(हरों का LCM)
सूत्र
दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या।
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- HCF: वह सबसे बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करे।
- LCM: वह सबसे छोटी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो।
- अभाज्य गुणनखंडन में HCF = सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 12 और 18 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
✅ Solution: HCF = 6, LCM = 36
💡 Explanation: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²। HCF = 2¹ × 3¹ = 6। LCM = 2² × 3² = 36। जाँच: 6 × 36 = 216 = 12 × 18।
HCF और LCM निकालने की विधियाँ
HCF निकालने की भाग विधि में बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग देते हैं, फिर भाजक को शेषफल से भाग देते हैं, जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF होता है। LCM निकालने के लिए अभाज्य गुणनखंडन में सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात लेते हैं। यदि संख्याएँ सह-अभाज्य हों (HCF = 1), तो LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल।
- बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें
- शेषफल ज्ञात करें
- यदि शेषफल = 0, तो भाजक ही HCF है
- यदि शेषफल ≠ 0, तो भाजक को शेषफल से भाग दें
- चरण 2-4 दोहराएँ जब तक शेषफल 0 न हो
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- भाग विधि: बड़ी संख्या ÷ छोटी संख्या, फिर भाजक ÷ शेषफल; अंतिम भाजक = HCF।
- सह-अभाज्य संख्याएँ: जिनका HCF 1 हो, उनका LCM = संख्याओं का गुणनफल।
- LCM ज्ञात करने के लिए अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घात लें।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 48 और 60 का HCF भाग विधि से ज्ञात कीजिए।
✅ Solution: HCF = 12
💡 Explanation: 60 ÷ 48 = 1 शेष 12; 48 ÷ 12 = 4 शेष 0। अंतिम भाजक 12 है, अतः HCF = 12।
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q115 और 25 का LCM क्या है?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 75
💡 Explanation: 15 = 3 × 5, 25 = 5²। LCM = 3¹ × 5² = 75।
Q2यदि दो संख्याओं का HCF 4 और LCM 48 है, तथा एक संख्या 12 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 16
💡 Explanation: HCF × LCM = a × b ⇒ 4 × 48 = 12 × b ⇒ b = 192/12 = 16।
Q32/3 और 4/5 का LCM ज्ञात कीजिए।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 4
💡 Explanation: LCM = LCM(2,4)/HCF(3,5) = 4/1 = 4।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- HCF और LCM के सूत्र में गलती: HCF × LCM = a × b केवल दो संख्याओं के लिए लागू होता है, तीन या अधिक के लिए नहीं।
- भाग विधि में अंतिम शेषफल को HCF मान लेना: HCF अंतिम भाजक होता है, शेषफल नहीं।
- भिन्नों का LCM निकालते समय अंश और हर का LCM/HCF उलटा कर देना: सही सूत्र याद रखें।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- HCF: सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड; LCM: सबसे छोटा सामान्य गुणज।
- दो संख्याओं के लिए: HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल।
- सह-अभाज्य संख्याओं का HCF = 1 और LCM = गुणनफल।
- भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF।