⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- घात नियम (Power Rule): d/dx (x^n) = n·x^(n-1), जहाँ n कोई वास्तविक संख्या है।
- स्पर्श रेखा की प्रवणता: बिंदु (a, f(a)) पर प्रवणता m = f'(a); समीकरण y - f(a) = f'(a)(x - a)।
- त्रिकोणमितीय अवकलज: d/dx (sin x) = cos x, d/dx (cos x) = -sin x, d/dx (tan x) = sec^2 x।
- वृद्धि/ह्रास: यदि f'(x) > 0 तो फलन वर्धमान, यदि f'(x) < 0 तो ह्रासमान।
- चरघातांकी एवं लघुगणक: d/dx (e^x) = e^x, d/dx (ln x) = 1/x (x>0)।
- उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ: f'(x)=0 पर स्थिर बिंदु; f''(x)<0 पर उच्चिष्ठ, f''(x)>0 पर निम्निष्ठ।
Introduction · परिचय
अवकलन गणित (Differential Calculus) NDA गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें फलन के अवकलज (Derivative), सीमा (Limit), सांतत्य (Continuity), और अवकलज के अनुप्रयोग (Applications) शामिल हैं। यह विषय गति, परिवर्तन की दर, और वक्रों की प्रवणता को समझने में मदद करता है। NDA परीक्षा में इससे सीधे सूत्र-आधारित प्रश्न और अनुप्रयोग-आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं।
अवकलज की मूल अवधारणा एवं मानक सूत्र
किसी फलन y = f(x) का अवकलज, x के सापेक्ष परिवर्तन की दर को दर्शाता है। इसे dy/dx या f'(x) से लिखते हैं। सीमा के रूप में: f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)]/h। मानक फलनों के अवकलज सीधे सूत्रों से निकाले जाते हैं।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
घात नियम
d/dx (x^n) = n x^{n-1}
गुणनफल नियम
d/dx (uv) = u'v + uv'
भागफल नियम
d/dx (u/v) = (u'v - uv')/v^2
श्रृंखला नियम
d/dx f(g(x)) = f'(g(x))·g'(x)
घात नियम (Power Rule)
d/dx (x^n) = n·x^(n-1), जहाँ n कोई वास्तविक संख्या है।
योग-अंतर नियम
d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)।
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- त्रिकोणमितीय अवकलज: d/dx (sin x) = cos x, d/dx (cos x) = -sin x, d/dx (tan x) = sec^2 x।
- चरघातांकी एवं लघुगणक: d/dx (e^x) = e^x, d/dx (ln x) = 1/x (x>0)।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: y = 3x^4 + 2x^2 - 5x + 7 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
✅ Solution: dy/dx = 12x^3 + 4x - 5
💡 Explanation: प्रत्येक पद पर घात नियम लगाएँ: d/dx(3x^4)=12x^3, d/dx(2x^2)=4x, d/dx(-5x)=-5, अचर 7 का अवकलज 0।
अवकलज के अनुप्रयोग: स्पर्श रेखा, अधिकतम-न्यूनतम
अवकलज का उपयोग वक्र पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope) निकालने, फलन के वृद्धि/ह्रास की जाँच, और अधिकतम/न्यूनतम मान ज्ञात करने में होता है। किसी बिंदु x=a पर स्पर्श रेखा की प्रवणता f'(a) होती है।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
स्पर्श रेखा समीकरण
y - y1 = m(x - x1), जहाँ m = dy/dx at (x1,y1)
द्वितीय अवकलज परीक्षण
f'(c)=0 और f''(c)<0 ⇒ उच्चिष्ठ; f''(c)>0 ⇒ निम्निष्ठ
| उच्चिष्ठ (Maximum) | निम्निष्ठ (Minimum) |
|---|---|
| f'(c)=0 और f''(c)<0 | f'(c)=0 और f''(c)>0 |
| फलन का मान स्थानीय रूप से अधिकतम | फलन का मान स्थानीय रूप से न्यूनतम |
| उदाहरण: y = -x^2 का शिखर | उदाहरण: y = x^2 का तल |
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- स्पर्श रेखा की प्रवणता: बिंदु (a, f(a)) पर प्रवणता m = f'(a); समीकरण y - f(a) = f'(a)(x - a)।
- वृद्धि/ह्रास: यदि f'(x) > 0 तो फलन वर्धमान, यदि f'(x) < 0 तो ह्रासमान।
- उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ: f'(x)=0 पर स्थिर बिंदु; f''(x)<0 पर उच्चिष्ठ, f''(x)>0 पर निम्निष्ठ।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: वक्र y = x^2 - 4x + 5 पर x = 3 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
✅ Solution: प्रवणता = 2
💡 Explanation: dy/dx = 2x - 4; x=3 रखने पर 2(3)-4 = 2।
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q1d/dx (sin x · cos x) का मान क्या है?
👀 Answer dekho
✅ Answer: cos 2x
💡 Explanation: गुणनफल नियम: (sin x)'cos x + sin x(cos x)' = cos^2 x - sin^2 x = cos 2x।
Q2फलन f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 का स्थानीय उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिए।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 4 (x=0 पर)
💡 Explanation: f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2); स्थिर बिंदु x=0,2। f''(x)=6x-6; x=0 पर f''=-6<0 ⇒ उच्चिष्ठ, f(0)=4।
Q3वक्र y = x^2 पर बिंदु (2,4) पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?
👀 Answer dekho
✅ Answer: y = 4x - 4
💡 Explanation: dy/dx=2x; x=2 पर प्रवणता 4। समीकरण: y-4=4(x-2) ⇒ y=4x-4।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- श्रृंखला नियम (Chain Rule) भूल जाना: जब फलन संयुक्त हो (जैसे sin(2x)), तो बाहरी और भीतरी दोनों का अवकलज लें।
- त्रिकोणमितीय अवकलज में ऋण चिह्न छोड़ देना: d/dx(cos x) = -sin x, धनात्मक नहीं।
- अधिकतम/न्यूनतम में केवल f'=0 जाँचकर f'' परीक्षण न करना; द्वितीय अवकलज से प्रकृति तय करें।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- मानक अवकलज सूत्र: x^n, sin x, cos x, tan x, e^x, ln x के अवकलज याद रखें।
- गुणनफल एवं भागफल नियम: (uv)' = u'v+uv', (u/v)' = (u'v-uv')/v^2।
- स्पर्श रेखा: प्रवणता m = f'(a), समीकरण y - f(a) = m(x - a)।
- उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ: f'(c)=0, f''(c) का चिह्न देखें – ऋणात्मक उच्चिष्ठ, धनात्मक निम्निष्ठ।