⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- दूरी सूत्र: दो बिंदुओं P(x₁,y₁) और Q(x₂,y₂) के बीच की दूरी d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] होती है।
- ढाल सूत्र: दो बिंदुओं (x₁,y₁) और (x₂,y₂) से गुजरने वाली रेखा की ढाल m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) होती है।
- विभाजन सूत्र: बिंदु P जो A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) को m:n में अंतः विभाजित करता है, के निर्देशांक [(mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)] होते हैं।
- रेखा का समीकरण: ढाल m और y-अंतःखंड c के लिए y = mx + c; बिंदु (x₁,y₁) से गुजरने वाली ढाल m वाली रेखा y − y₁ = m(x − x₁)।
- मध्य-बिंदु सूत्र: A और B के मध्य-बिंदु के निर्देशांक [(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2] होते हैं।
- समांतर और लंब: दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि m₁ = m₂; लंब होती हैं यदि m₁·m₂ = −1।
Introduction · परिचय
विश्लेषणात्मक ज्यामिति (Analytical Geometry) में निर्देशांक ज्यामिति के माध्यम से बिंदुओं, रेखाओं और वक्रों का अध्ययन किया जाता है। NDA परीक्षा में इस विषय से सीधे सूत्र-आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं, विशेषकर दूरी, विभाजन, ढाल, रेखा के समीकरण और शंकु (वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय) से संबंधित।
निर्देशांक ज्यामिति के मूल सूत्र
कार्तीय तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी, विभाजन सूत्र और मध्य-बिंदु सूत्र का प्रयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल किया जाता है। त्रिभुज के क्षेत्रफल और सरेखता (collinearity) की जाँच भी इन्हीं पर आधारित है।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
दूरी सूत्र
d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
विभाजन सूत्र (अंतः)
P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))
मध्य-बिंदु सूत्र
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
त्रिभुज का क्षेत्रफल
Δ = ½ |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
दूरी सूत्र
दो बिंदुओं P(x₁,y₁) और Q(x₂,y₂) के बीच की दूरी d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] होती है।
विभाजन सूत्र
बिंदु P जो A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) को m:n में अंतः विभाजित करता है, के निर्देशांक [(mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)] होते हैं।
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- त्रिभुज का क्षेत्रफल: शीर्षों (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| होता है।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: बिंदुओं (2, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
✅ Solution: 5
💡 Explanation: d = √[(5−2)² + (7−3)²] = √[3² + 4²] = √(9+16) = √25 = 5.
✍️ Solved Example 2 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: बिंदु (4, 5) और (6, 9) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?
✅ Solution: (5, 7)
💡 Explanation: मध्य-बिंदु = [(4+6)/2, (5+9)/2] = (10/2, 14/2) = (5, 7).
सरल रेखा के समीकरण और ढाल
रेखा की ढाल (slope) उसके झुकाव को दर्शाती है। विभिन्न रूपों में रेखा का समीकरण लिखा जा सकता है: ढाल-अंतःखंड रूप, बिंदु-ढाल रूप, दो-बिंदु रूप और अंतःखंड रूप। दो रेखाओं के समांतर या लंब होने की शर्तें ढाल पर आधारित हैं।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
ढाल
m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
बिंदु-ढाल रूप
y − y₁ = m(x − x₁)
लंबता की शर्त
m₁·m₂ = −1
बिंदु से रेखा की दूरी
d = |ax₁+by₁+c| / √(a²+b²)
ढाल सूत्र
दो बिंदुओं (x₁,y₁) और (x₂,y₂) से गुजरने वाली रेखा की ढाल m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) होती है।
| समांतर रेखाएँ | लंब रेखाएँ |
|---|---|
| m₁ = m₂ | m₁·m₂ = −1 |
| कभी नहीं मिलतीं | समकोण पर मिलतीं |
| उदाहरण: y=2x+1, y=2x−3 | उदाहरण: y=2x+1, y=−½x+4 |
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- रेखा का समीकरण: ढाल m और y-अंतःखंड c के लिए y = mx + c; बिंदु (x₁,y₁) से गुजरने वाली ढाल m वाली रेखा y − y₁ = m(x − x₁)।
- समांतर और लंब: दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि m₁ = m₂; लंब होती हैं यदि m₁·m₂ = −1।
- बिंदु की रेखा से दूरी: रेखा ax + by + c = 0 से बिंदु (x₁,y₁) की दूरी = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (2, 3) से गुजरती है और जिसकी ढाल 4 है।
✅ Solution: y = 4x − 5
💡 Explanation: बिंदु-ढाल रूप: y − 3 = 4(x − 2) ⇒ y − 3 = 4x − 8 ⇒ y = 4x − 5.
✍️ Solved Example 2 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: रेखा 3x + 4y − 10 = 0 से बिंदु (1, 2) की दूरी ज्ञात कीजिए।
✅ Solution: 1/5
💡 Explanation: दूरी = |3(1) + 4(2) − 10| / √(3²+4²) = |3+8−10|/5 = 1/5.
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q1बिंदुओं (1, 2) और (4, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:1 में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?
👀 Answer dekho
✅ Answer: (3, 14/3)
💡 Explanation: विभाजन सूत्र: x = (2·4 + 1·1)/(2+1) = (8+1)/3 = 3; y = (2·6 + 1·2)/3 = (12+2)/3 = 14/3. अतः बिंदु (3, 14/3).
Q2रेखा 2x − 3y + 6 = 0 की ढाल क्या है?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 2/3
💡 Explanation: 2x − 3y + 6 = 0 ⇒ 3y = 2x + 6 ⇒ y = (2/3)x + 2, अतः ढाल = 2/3.
Q3यदि दो रेखाओं की ढाल 3 और −1/3 है, तो वे कैसी हैं?
👀 Answer dekho
✅ Answer: लंबवत
💡 Explanation: m₁·m₂ = 3 × (−1/3) = −1, अतः रेखाएँ लंबवत हैं।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- दूरी सूत्र में घटाने का क्रम गलत होना: (x₂−x₁) और (y₂−y₁) में वर्ग होने से चिह्न का प्रभाव नहीं पड़ता, परंतु विभाजन सूत्र में m और n की जगह न बदलें।
- ढाल की गणना में y-अंतर को x-अंतर से भाग देना भूल जाना; सूत्र m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) का सही प्रयोग करें।
- लंब रेखाओं की शर्त को m₁ = −m₂ समझना; सही शर्त m₁·m₂ = −1 है।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- दूरी सूत्र: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] – किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालने के लिए।
- विभाजन सूत्र: अंतः विभाजन में अनुपात m:n के अनुसार निर्देशांक ज्ञात करें; मध्य-बिंदु के लिए m=n=1 रखें।
- रेखा की ढाल: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁); समांतर के लिए m₁=m₂, लंब के लिए m₁·m₂=−1.
- बिंदु से रेखा की दूरी: |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²) – सीधे सूत्र में मान रखें।