⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- अभाज्य संख्या: वह संख्या जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
- HCF × LCM = a × b: दो संख्याओं a और b के लिए, उनका गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।
- भाज्यता नियम (3 और 9): किसी संख्या के सभी अंकों का योग यदि 3 (या 9) से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 3 (या 9) से विभाज्य होगी।
- शेषफल प्रमेय: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल; इससे अज्ञात संख्या ज्ञात कर सकते हैं।
- भाज्यता नियम (11): (विषम स्थानों के अंकों का योग) - (सम स्थानों के अंकों का योग) = 0 या 11 का गुणज।
- समान शेष वाली संख्या: यदि संख्या को a, b, c से भाग देने पर समान शेष r बचे, तो संख्या = LCM(a,b,c) × k + r।
Introduction · परिचय
संख्या पद्धति (Number System) RRB NTPC गणित का आधारभूत एवं महत्वपूर्ण टॉपिक है। इसमें संख्याओं के प्रकार, उनके गुणधर्म, भाज्यता के नियम, म.स.प. (HCF), ल.स.प. (LCM), शेषफल प्रमेय आदि का अध्ययन किया जाता है। यह टॉपिक अन्य अध्यायों जैसे प्रतिशत, औसत, सरलीकरण आदि के लिए भी आधार प्रदान करता है।
संख्याओं के प्रकार एवं भाज्यता के नियम
प्राकृत संख्याएँ (1,2,3,...), पूर्ण संख्याएँ (0,1,2,...), पूर्णांक (...,-2,-1,0,1,2,...), परिमेय संख्याएँ (p/q के रूप में जहाँ q≠0), अपरिमेय संख्याएँ (√2, π आदि) होती हैं। सम संख्याएँ 2 से विभाज्य होती हैं, विषम नहीं। अभाज्य संख्याएँ केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं (जैसे 2,3,5,7...)। 1 न अभाज्य है न संयुक्त। भाज्यता के नियम परीक्षा में महत्वपूर्ण हैं: 2 के लिए अंतिम अंक सम, 3 के लिए अंकों का योग 3 से विभाज्य, 4 के लिए अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य, 5 के लिए अंतिम अंक 0 या 5, 9 के लिए अंकों का योग 9 से विभाज्य, 11 के लिए विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
भाज्यता (11)
(विषम स्थान अंक योग) - (सम स्थान अंक योग) = 0 या 11k
भाज्यता नियम (3 और 9)
किसी संख्या के सभी अंकों का योग यदि 3 (या 9) से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 3 (या 9) से विभाज्य होगी।
भाज्यता नियम (11)
(विषम स्थानों के अंकों का योग) - (सम स्थानों के अंकों का योग) = 0 या 11 का गुणज।
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- अभाज्य संख्या: वह संख्या जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: जाँचिए कि 4836, 3 और 4 से विभाज्य है या नहीं?
✅ Solution: 3 से हाँ, 4 से हाँ
💡 Explanation: 3 के लिए: अंकों का योग 4+8+3+6=21, जो 3 से विभाज्य है, अतः 4836 भी 3 से विभाज्य है। 4 के लिए: अंतिम दो अंक 36, जो 4 से विभाज्य है, अतः 4836 भी 4 से विभाज्य है।
म.स.प. (HCF), ल.स.प. (LCM) एवं शेषफल
म.स.प. (HCF) वह बड़ी से बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करे। ल.स.प. (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो। अभाज्य गुणनखंड विधि या भाग विधि से ज्ञात करते हैं। महत्वपूर्ण सूत्र: HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल (केवल दो संख्याओं के लिए)। शेषफल प्रमेय: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल। यदि किसी संख्या को 5, 6, 7 से भाग देने पर समान शेष बचे, तो संख्या = (5,6,7 का LCM) × k + शेष।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
HCF-LCM संबंध
HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b
शेषफल प्रमेय
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
शेषफल प्रमेय
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल; इससे अज्ञात संख्या ज्ञात कर सकते हैं।
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- HCF × LCM = a × b: दो संख्याओं a और b के लिए, उनका गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।
- समान शेष वाली संख्या: यदि संख्या को a, b, c से भाग देने पर समान शेष r बचे, तो संख्या = LCM(a,b,c) × k + r।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 12 और 18 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
✅ Solution: HCF = 6, LCM = 36
💡 Explanation: 12 = 2²×3, 18 = 2×3²। HCF = सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात = 2×3=6। LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात = 2²×3²=36। सत्यापन: 6×36=216=12×18।
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q1यदि किसी संख्या को 5, 6, 7 से भाग देने पर क्रमशः 3, 4, 5 शेष बचता है, तो ऐसी सबसे छोटी संख्या क्या है?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 208
💡 Explanation: यहाँ शेष = भाजक - 2 (5-3=2, 6-4=2, 7-5=2)। अतः संख्या = LCM(5,6,7) - 2 = 210 - 2 = 208।
Q2दो संख्याओं का HCF 6 और LCM 36 है। यदि एक संख्या 12 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 18
💡 Explanation: HCF × LCM = a × b ⇒ 6 × 36 = 12 × b ⇒ b = 216/12 = 18।
Q3निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 11 से विभाज्य है? (a) 1234 (b) 1331 (c) 1452 (d) 1562
👀 Answer dekho
✅ Answer: 1331
💡 Explanation: 1331 के लिए: विषम स्थान (1,3) का योग = 1+3=4; सम स्थान (3,1) का योग = 3+1=4; अंतर = 0, अतः 11 से विभाज्य।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- 1 को अभाज्य संख्या मान लेना: 1 न अभाज्य है न संयुक्त, इसे याद रखें।
- HCF और LCM के सूत्र को दो से अधिक संख्याओं पर लागू करना: HCF × LCM = गुणनफल केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है।
- भाज्यता नियम 4 में अंतिम अंक देखना: 4 के लिए अंतिम दो अंकों को 4 से विभाजित करना चाहिए, केवल अंतिम अंक नहीं।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- अभाज्य संख्याएँ: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 (2 एकमात्र सम अभाज्य)।
- भाज्यता नियम: 3 और 9 के लिए अंक योग, 4 के लिए अंतिम दो अंक, 11 के लिए विषम-सम स्थान अंतर।
- HCF × LCM = a × b (केवल दो संख्याओं के लिए); समान शेष वाली संख्या = LCM × k + शेष।