⭐ Sabse Important Points · एक नज़र में
- भाज्यता नियम 2: संख्या का इकाई अंक 0,2,4,6,8 हो तो 2 से विभाज्य।
- HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या (केवल दो संख्याओं के लिए)।
- भाज्यता नियम 3: अंकों का योग 3 से विभाज्य हो तो संख्या 3 से विभाज्य।
- अभाज्य गुणनखंड में HCF = सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल।
- भाज्यता नियम 4: अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो तो संख्या 4 से विभाज्य।
- अभाज्य गुणनखंड में LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घातों का गुणनफल।
Introduction · परिचय
संख्या पद्धति (Number System) RRB Group D गणित का आधारभूत एवं महत्वपूर्ण टॉपिक है। इसमें संख्याओं के प्रकार, स्थानीय मान, भाज्यता के नियम, म.स.प. (HCF), ल.स.प. (LCM) और शेषफल प्रमेय जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। यह टॉपिक अन्य अध्यायों जैसे प्रतिशत, औसत और सरलीकरण का आधार बनता है।
संख्याओं के प्रकार एवं भाज्यता के नियम
प्राकृत संख्याएँ (1,2,3...) गिनती की संख्याएँ हैं। पूर्ण संख्याओं में 0 भी शामिल होता है। पूर्णांक में ऋणात्मक संख्याएँ भी आती हैं। परिमेय संख्याएँ p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं जहाँ q≠0। अपरिमेय संख्याएँ p/q रूप में नहीं लिखी जा सकतीं (जैसे √2, π)। भाज्यता के नियमों से हम शीघ्रता से जाँच सकते हैं कि कोई संख्या किससे विभाज्य है।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
भाज्यता 3 का नियम
अंकों का योग % 3 = 0
भाज्यता 11 का नियम
(विषम स्थान अंक योग - सम स्थान अंक योग) % 11 = 0
भाज्यता नियम 2
संख्या का इकाई अंक 0,2,4,6,8 हो तो 2 से विभाज्य।
भाज्यता नियम 3
अंकों का योग 3 से विभाज्य हो तो संख्या 3 से विभाज्य।
भाज्यता नियम 4
अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो तो संख्या 4 से विभाज्य।
भाज्यता नियम 5
इकाई अंक 0 या 5 हो तो 5 से विभाज्य।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: जाँचें कि 3528, 9 से विभाज्य है या नहीं।
✅ Solution: हाँ, 3528, 9 से विभाज्य है।
💡 Explanation: अंकों का योग = 3+5+2+8 = 18, जो 9 से विभाज्य है। अतः संख्या 9 से विभाज्य है।
✍️ Solved Example 2 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: क्या 1234, 11 से विभाज्य है?
✅ Solution: नहीं, 1234, 11 से विभाज्य नहीं है।
💡 Explanation: विषम स्थान (1,3): 1+3=4; सम स्थान (2,4): 2+4=6; अंतर = 4-6 = -2, जो 0 या 11 का गुणज नहीं है।
म.स.प. (HCF) एवं ल.स.प. (LCM)
म.स.प. (HCF) वह बड़ी से बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करे। ल.स.प. (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो। अभाज्य गुणनखंड विधि या भाग विधि से HCF और LCM निकाले जाते हैं।
📐 Formula / Rule Box · सूत्र याद रखो
HCF-LCM संबंध
HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b
भिन्नों का LCM
LCM(अंश)/HCF(हर)
भिन्नों का HCF
HCF(अंश)/LCM(हर)
| HCF (म.स.प.) | LCM (ल.स.प.) |
|---|---|
| सबसे बड़ा सामान्य भाजक | सबसे छोटा सामान्य गुणज |
| न्यूनतम घातें लें | अधिकतम घातें लें |
| HCF ≤ छोटी संख्या | LCM ≥ बड़ी संख्या |
⭐ Key Points · याद रखने वाली बातें
- HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या (केवल दो संख्याओं के लिए)।
- अभाज्य गुणनखंड में HCF = सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल।
- अभाज्य गुणनखंड में LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घातों का गुणनफल।
- यदि संख्याएँ सह-अभाज्य (co-prime) हों तो HCF = 1 और LCM = संख्याओं का गुणनफल।
✍️ Solved Example 1 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: 12 और 18 का HCF तथा LCM ज्ञात करें।
✅ Solution: HCF = 6, LCM = 36
💡 Explanation: 12 = 2²×3, 18 = 2×3²। HCF = 2¹×3¹ = 6; LCM = 2²×3² = 36। सत्यापन: 6×36 = 216 = 12×18।
✍️ Solved Example 2 · हल किया हुआ उदाहरण
❓ Question: दो संख्याओं का HCF 4 और LCM 48 है। यदि एक संख्या 12 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।
✅ Solution: दूसरी संख्या = 16
💡 Explanation: HCF × LCM = संख्या1 × संख्या2 ⇒ 4×48 = 12×x ⇒ x = 192/12 = 16।
Practice Questions · खुद हल करके देखो
पहले खुद try karo, phir “Answer dekho” dabakar check karo. 👇
Q1यदि किसी संख्या का 7 से भाग देने पर शेषफल 3 प्राप्त होता है, तो उस संख्या के 3 गुने को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
👀 Answer dekho
✅ Answer: 2
💡 Explanation: संख्या = 7k+3। 3 गुना = 21k+9 = 7(3k+1)+2, अतः शेषफल 2।
Q215, 25 और 35 का LCM ज्ञात करें।
👀 Answer dekho
✅ Answer: 525
💡 Explanation: 15=3×5, 25=5², 35=5×7। LCM = 3×5²×7 = 525।
Q3निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 11 से विभाज्य है? (a) 2728 (b) 2727 (c) 2726 (d) 2725
👀 Answer dekho
✅ Answer: (a) 2728
💡 Explanation: 2728 में विषम स्थान अंक (2+2)=4, सम स्थान अंक (7+8)=15, अंतर = 11, जो 11 से विभाज्य है।
⚠️ Common Mistakes · ये गलतियाँ बिल्कुल मत करना
- भाज्यता नियम 4 में अंतिम दो अंकों के बजाय पूरी संख्या का योग देख लेना — अंतिम दो अंकों से बनी संख्या ही 4 से विभाज्यता तय करती है।
- HCF और LCM के सूत्र को दो से अधिक संख्याओं पर लागू करना — HCF×LCM = गुणनफल केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है।
- LCM निकालते समय अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात ले लेना — LCM के लिए अधिकतम घात लें।
⚡ Quick Revision · Exam से पहले 2 मिनट में दोहराओ
- भाज्यता नियम 3 और 9: अंकों का योग क्रमशः 3 और 9 से विभाज्य होना चाहिए।
- HCF-LCM संबंध: दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल।
- सह-अभाज्य संख्याएँ: HCF = 1 और LCM = संख्याओं का गुणनफल।
- शेषफल प्रमेय: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल।